A Novel Choquet Integral-Based VIKOR Approach Under Q-Rung Orthopair Hesitant Fuzzy Environment

针对 q 阶正交犹豫模糊环境下多属性决策存在的三个核心问题——现有模糊熵犹豫度损失高、属性模糊测度难以客观确定、以及复杂犹豫信息处理效率低——本文提出了一套完整的 MADM 方法体系：定义了 q 阶正交犹豫模糊熵（q-ROHFE）及其构造定理，建立了基于 q-ROHFE 的属性模糊测度约束非线性优化模型，并在此基础上提出了基于 Choquet 积分的改进 VIKOR 方法。实验表明，所提方法在显著降低犹豫度损失和数据冗余的同时，大幅提升了计算效率，具有良好的适应性与可扩展性。

研究背景

模糊集及其衍生结构——直觉模糊集、犹豫模糊集、双重犹豫模糊集（DHFS）——是处理不确定性信息的重要工具。q 阶正交犹豫模糊集（q-ROHFS）由 Liu et al. 提出，将约束放宽为 $0 \le \max\{MD\}^q + \max\{NMD\}^q \le 1$（$q \ge 1$），能够描述更大、更灵活的模糊信息空间；当 $q=1$ 时退化为 DHFS。

在基于 q-ROHFS 的 MADM 研究中，现有方法存在三处明显不足：

1. 现有 q-ROHFE（Wang et al., 2020）采用最大元素补全（MEC）或排序配对计算，会引入不可避免的犹豫度损失；
2. 属性的非加性模糊测度大多由研究者主观给定，缺乏客观计算途径；
3. 基于 Maclaurin 对称均值算子（MSM）等聚合方法会产生大量冗余数据，导致计算效率极低。

主要贡献

1. q-ROHFE 公理化定义与构造定理：在 $\delta$（平均绝对差）和 $\pi$（平均犹豫度）两个度量上给出公理化定义，并证明了构造定理——任意满足三个条件的函数 $g(\delta, \pi)$ 均可构造合法的 q-ROHFE。据此给出两个具体公式：

   $$E_q^{(1)}(\xi) = \frac{1}{2}\left[\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\delta\right) + \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\pi_{\text{val}}\right)\right]$$
   $$E_q^{(2)}(\xi) = 1 - \frac{1}{2}\left[\delta^{1/2} + \left(1-(1-\pi_{\text{val}})^{1/q}\right)^{1/2}\right]$$

   相较于 MEC 方法，犹豫度损失约为 0.0005，仅为 MEC 的 1/8.4。

2. 属性模糊测度优化模型：将 Shannon 熵的均匀性视为属性重要度，以 TOPSIS 相似度矩阵最大化为目标函数，以 $\lambda$-模糊测度约束和模糊测度熵约束为条件，构建约束非线性规划模型，通过 MATLAB 求解，客观得出各属性及属性组合的模糊测度值。

3. Choquet 积分改进 VIKOR 方法：定义基于广义距离的 Choquet 远度指数（CRI），进而计算 Choquet 群效用指数（CGUI）、个体遗憾指数（CIRI）和折中指数（CCI），按 CCI 从小到大对方案排序，可同时考虑属性间的相关性与依赖性。

4. 扩展性：所提方法可直接退化适用于 DHFS、犹豫毕达哥拉斯模糊集（HPFS）和犹豫费马模糊集等。

实验结果

案例一：21 世纪海上丝绸之路港口投资选择（5 个港口，6 个风险属性，$q=3$）

基于 Formula (6) 和 (7) 两种熵公式，最终均得出雅加达（$P_5$）为最优投资港口，排序为 $P_5 \succ P_2 \succ P_1 \succ P_3 \succ P_4$，与 Mishra et al. [13] 等对比方法结果一致。

案例二：甲状腺癌治疗方案选择（5 种治疗方案，5 个评价准则，$q=3$）

两种熵公式均得出靶向治疗（$T_4$）为最优方案，排序为 $T_4 \succ T_5 \succ T_1 \succ T_2 \succ T_3$，同样与对比方法吻合。

效率对比：在随机生成的 10 组决策矩阵（逐步增加 MD/NMD 数目或属性数目）上，与 Garg [23]（基于 MSM 算子）和 Liu et al. [8]（LCM 归一化）方法对比，本文方法运行时间几乎保持常数，而对比方法随规模增大呈指数/多项式增长。

基本信息