A New Multi-Attribute Group Decision-Making Method Based on Einstein Bonferroni Operators Under Interval-Valued Fermatean Hesitant Fuzzy Environment

这篇文章讨论的是区间值费马犹豫模糊环境下的多属性群决策问题。作者认为，现有 IVFHFS 相关 MAGDM 方法虽然能描述更复杂的不确定信息，但对运算法则的研究还不充分，同时大多没有显式处理属性之间的相互关系，方法灵活性也不足。为此，文章在 Einstein t-范数框架下系统扩展 IVFHFS 的运算规律，进一步构造 Einstein Bonferroni 聚合算子及其加权形式，并据此提出一套新的 MAGDM 方法，最后用心血管疾病诊断案例验证方法的可行性与有效性。

研究背景

费马模糊集及其犹豫、区间值扩展，是近年来处理高不确定决策信息的重要工具。与直觉模糊集、毕达哥拉斯模糊集相比，费马类结构在表示“隶属-非隶属-犹豫”复杂关系时更灵活；再叠加“区间值”和“犹豫”之后，可以更充分刻画专家在评价时的摇摆、模糊与区间不确定性。

但表达能力增强之后，决策方法也会面临两个直接问题：

1. 底层运算规则如果不够清晰，后续聚合和排序很容易失去一致性；
2. 如果聚合算子把各属性看成彼此独立，就难以反映真实决策中常见的属性联动关系。

这篇论文的切入点非常明确：一方面补足 IVFHFS 在 Einstein 运算下的规则体系，另一方面用 Bonferroni 平均去刻画属性之间的交互关系。

主要贡献

1. 系统扩展 IVFHFS 在 Einstein t-范数下的运算法则

   文章首先不是直接给出聚合算子，而是从运算层面重新梳理区间值费马犹豫模糊信息在 Einstein t-范数与 t-余范数框架下的基本规律。这个步骤很关键，因为只有运算规则完整，后续构造的聚合结果才有一致的数学基础。

2. 提出 IVFHF Einstein Bonferroni 平均算子

   在 Einstein 运算基础上，文章构造了 interval-valued Fermatean hesitant fuzzy Einstein Bonferroni mean operator。Bonferroni 类算子的核心优势是可以反映属性之间的相互作用，而不是简单把各属性视为完全独立。因此，这一设计本质上是在 IVFHFS 环境下把“信息表达能力”和“属性交互建模能力”结合起来。

3. 提出加权 Einstein Bonferroni 平均算子

   文章进一步给出了加权版本，即 interval-valued Fermatean hesitant fuzzy Einstein weighted Bonferroni mean operator。相比非加权版本，加权形式更适合实际群决策，因为它允许不同属性的重要性不同，也更容易嵌入标准 MAGDM 流程。

4. 给出新的 MAGDM 方法

   在上述算子基础上，作者构建了一套新的群决策流程。整体思路可以概括为：

   $$\text{IVFHFS 评价信息} \rightarrow \text{Einstein 运算扩展} \rightarrow \text{Bonferroni 聚合} \rightarrow \text{方案排序}$$

   这套方法相对于普通平均型聚合方法的改进点主要在两处：

   • 能处理区间值费马犹豫模糊信息；
   • 能通过 Bonferroni 机制显式考虑属性间关系。

5. 强调方法灵活性

   摘要里专门指出，所提聚合算子比现有方法“far more flexible”。这说明作者并不只是追求定义新算子，而是希望通过 Einstein 参数化与 Bonferroni 结构，让方法在不同决策偏好和不同属性关联强度下都具备适应性。

应用与实验解读

文章最终使用心血管疾病诊断作为验证案例。这一点很有代表性，因为医疗诊断中的评价往往天然具备以下特征：

• 医生判断存在模糊和犹豫；
• 指标值常以区间形式出现；
• 各症状或检测指标之间并非独立。

因此，IVFHFS 与 Einstein Bonferroni 聚合的组合在这个场景下是有现实意义的，而不是为了数学形式复杂而复杂。

从文章摘要给出的定位来看，实验主要承担三项任务：

1. 验证所提算子确实可以在 IVFHFS 环境下稳定运行；
2. 验证考虑属性关系后，决策结果比现有方法更合理；
3. 证明该方法在实际医学诊断场景下具有可操作性。

这意味着这篇文章的价值主要不在大规模实验对比，而在于把一套新的 IVFHFS 运算与聚合框架真正落到一个可信应用场景中。

简要评价

这篇论文属于比较典型的“运算规则扩展 + 新聚合算子 + 决策流程应用”型工作。它的核心贡献不是换一种打分函数，而是把 Einstein 运算和 Bonferroni 平均一起移植到 IVFHFS 环境里，使方法同时具备：

• 更强的不确定信息表示能力；
• 对属性交互关系的建模能力；
• 面向实际诊断问题的可用性。

如果把它放在实验室这批论文的整体脉络里看，这篇文章更偏“基础算子与决策框架”层面，和后续的 Choquet-VIKOR、Banzhaf 动态权重、Mahalanobis-GCA、三支决策等工作可以视为连续推进关系：它更早地解决了“复杂模糊环境下如何合理聚合”的底层问题。

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