Hesitant Fermatean Fuzzy Bonferroni Mean Operators for Multi-Attribute Decision-Making

这篇文章讨论的是 Hesitant Fermatean fuzzy sets（HFFS）环境下的多属性决策问题。作者的切入点很直接：HFFS 具备比一般犹豫模糊或费马模糊模型更强的信息表达能力，但如果没有合适的聚合算子，这种表达能力很难真正转化为决策优势。为此，文章围绕 Bonferroni mean 和 Einstein 运算构造了四类聚合算子，并在此基础上提出新的 MADM 方法，最后用三名抑郁患者的诊断评估案例验证方法有效性。

研究背景

Hesitant Fermatean fuzzy set 是对犹豫模糊与费马模糊思想的进一步融合。它允许评价对象同时给出一组犹豫的隶属度和非隶属度，在更宽的约束范围内表达复杂不确定性，因此特别适合处理现实决策中常见的模糊、分歧与认知犹豫。

但更强的表达能力也带来一个直接问题：如何把这种复杂信息稳定地聚合起来。若仅使用简单平均或不考虑属性间关系的聚合方式，就会损失 HFFS 的表达优势。

这篇论文的目标很明确，就是在 HFFS 环境下构造既能处理属性交互、又能兼顾运算灵活性的 Bonferroni 类聚合算子，并将其真正用于多属性决策。

主要贡献

1. 提出 HFFBM 算子

   作者首先给出了 hesitant Fermatean fuzzy Bonferroni mean operator（HFFBM）。Bonferroni mean 的核心价值，在于它不是把各属性视作完全独立，而是通过算子结构显式考虑属性之间的交互关系。因此，HFFBM 相比普通平均类算子更适合复杂决策环境。

2. 引入 Einstein 运算并提出 HFFEBM

   在 HFFS 基本运算和 Einstein t-范数框架下，文章进一步定义了 hesitant Fermatean fuzzy Einstein Bonferroni mean operator（HFFEBM）。Einstein 运算的引入提升了聚合过程的灵活性，使算子在信息融合强度和决策偏好表达上比传统 Bonferroni 形式更有弹性。

3. 考虑权重影响，提出 HFFWBM 与 HFFEWBM

   文章进一步考虑属性权重对结果的影响，提出：

   • hesitant Fermatean fuzzy weighted Bonferroni mean（HFFWBM）
   • hesitant Fermatean fuzzy Einstein weighted Bonferroni mean（HFFEWBM）

   这一步很重要，因为真实 MADM 场景中，属性几乎不可能等权。引入加权形式后，文章的方法才能真正落到标准决策流程中。

4. 研究算子性质并构造 MADM 方法

   文章不仅给出定义，还系统讨论了这些算子的基本性质。在此基础上，作者把 HFFWBM 和 HFFEWBM 算子嵌入完整的多属性决策框架中，形成新的 MADM 方法。

   整体流程可以概括为：

   $$\text{HFFS 评价信息} \rightarrow \text{Bonferroni / Einstein-Bonferroni 聚合} \rightarrow \text{综合评价值} \rightarrow \text{方案排序}$$

5. 提升 HFFS 决策环境下的实用性

   这篇论文的实际价值在于，它没有停留在“提出一个新模糊集合”的层面，而是把 HFFS 环境下的聚合、加权和排序真正做成了可执行的决策流程。这对后续很多 HFFS 决策方法来说，是很典型的基础工作。

应用与实验解读

文章最后将所提方法应用于三名抑郁患者的诊断评估。这个案例与论文方法是匹配的，因为心理诊断场景通常具有以下特点：

• 评价信息存在明显犹豫；
• 指标之间可能存在交互关系；
• 诊断过程需要较高的区分能力和稳定性。

摘要里明确指出，三名患者的诊断结果验证了方法的合理性与有效性。文章还通过一系列比较实验与分析说明：在 hesitant Fermatean fuzzy 环境下，所提 MADM 方法是一种有效的决策方案。

这意味着作者关注的不只是算子定义本身，还关心新算子是否真的能在实际诊断任务中提升决策效果。

简要评价

这篇论文属于比较典型的“新模糊环境 + 新聚合算子 + 决策方法 + 应用验证”型工作。它的核心不是单个公式多复杂，而是把 HFFS 环境下真正可用的决策链路补齐了。

从研究脉络看，这篇文章与实验室后续的 Einstein-Bonferroni、Choquet-VIKOR、Dombi-Hamy、三支决策等工作有明显连续性：

• 都在研究复杂模糊环境下如何设计更合理的聚合机制；
• 都强调属性间关系不能被忽略；
• 都尝试把新算子真正落到医疗或评估类应用中。

因此，这篇可以视为实验室在“复杂模糊聚合算子”方向上的一篇比较标准的基础性工作。

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