AHP – 模糊决策与智能计算实验室

AHP

AHP (Analytic Hierarchy Process，层次分析法) 由 Saaty (1980) 提出。它既是一种决策方法，也是最经典的主观赋权方法。AHP 通过将复杂问题分解为层次结构，并在每一层进行两两比较，系统地将专家的主观判断转化为定量的权重。

核心思想

人类在面对多个选项时，难以直接给出精确的权重值（“价格的重要性是质量的 2.37 倍"这种说法不自然）。但人类擅长进行成对比较（“价格比质量更重要一些”）。AHP 利用这一认知特点，通过系统化的两两比较构建判断矩阵，再从中推导出权重。

将问题分解为目标层（最终目标）、准则层（评价属性）和方案层（备选方案）。

对准则层的 $n$ 个属性进行两两比较，构建 $n \times n$ 的判断矩阵 $A = (a_{ij})$ ，其中 $a_{ij}$ 表示属性 $i$ 相对于属性 $j$ 的重要性。Saaty 给出了 1-9 标度：

判断矩阵满足互反性： $a_{ij} = 1/a_{ji}$ 。

对判断矩阵求解特征向量，归一化后即为属性权重 $w$ 。实用的简化方法包括几何平均法和特征值法。

几何平均法：对判断矩阵每行求几何平均，再归一化：

w_i = \frac{\left(\prod_{j=1}^{n} a_{ij}\right)^{1/n}}{\sum_{k=1}^{n} \left(\prod_{j=1}^{n} a_{kj}\right)^{1/n}}

专家的两两比较可能存在逻辑不一致（例如 A > B, B > C, 但 C > A）。通过一致性比率 CR 检验：

CR = \frac{CI}{RI}, \quad CI = \frac{\lambda_{max} - n}{n - 1}

其中 $\lambda_{max}$ 是判断矩阵的最大特征值， $RI$ 是随机一致性指标（查表得到）。通常要求 $CR < 0.1$ ，否则需要修正判断矩阵。

AHP 最常见的用途不是独立进行决策排序，而是提供属性权重，再配合 TOPSIS、VIKOR 等方法完成排序。这种做法结合了 AHP 的主观赋权能力和排序方法的计算框架。

在实际论文中，常见的组合包括：