证据理论

证据理论 (Evidence Theory)，又称 Dempster-Shafer (D-S) 理论，由 Dempster (1967) 和 Shafer (1976) 发展而成。与传统概率论不同，D-S 理论允许将信念质量 (Belief Mass) 分配到命题的子集上（而非仅仅分配到单个事件），从而能够显式表达"不知道"或"不确定"。

核心概念

识别框架

设识别框架 $\Theta = \{\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_n\}$ 为所有可能假设的穷尽互斥集合。

基本概率赋值 (BPA)

基本概率赋值函数 $m: 2^\Theta \to [0, 1]$ 满足：

$m(A)$ 表示恰好分配给命题 $A$ 的信念质量——注意是"恰好分配给 $A$"，而非"$A$ 为真的概率"。

关键区别：在概率论中，$P(\theta_1) = 0.3$ 意味着 $\theta_1$ 发生的概率为 0.3。在 D-S 理论中，$m(\{\theta_1, \theta_2\}) = 0.4$ 意味着有 0.4 的信念支持"$\theta_1$ 或 $\theta_2$"，但不知道具体是哪一个。这种"不知道"是概率论无法表达的。

信任函数与似然函数

信任函数 (Belief Function) 和似然函数 (Plausibility Function) 分别给出命题 $A$ 的信念下界和上界：

• $Bel(A)$：完全支持 $A$ 的总信念（$A$ 为真的最低确信度）
• $Pl(A)$：不否定 $A$ 的总信念（$A$ 为真的最高可能性）
• 真实概率介于两者之间：$Bel(A) \leq P(A) \leq Pl(A)$

区间 $[Bel(A), Pl(A)]$ 的宽度反映了关于 $A$ 的不确定性大小。

Dempster 合成规则

当有多个独立的证据源时，Dempster 合成规则用于将它们的 BPA 融合为一个综合 BPA：

其中 $K$ 称为冲突系数，反映两个证据源之间的矛盾程度。当 $K$ 接近 1 时，两个证据高度矛盾，合成结果可能不可靠——这是 D-S 理论的一个已知局限。

在决策中的应用

证据理论在决策中的典型应用包括：

与模糊理论的关系

证据理论和模糊集理论都处理不确定性，但从不同角度：

在一些研究中，模糊集和证据理论会结合使用——例如用模糊集表达评价信息，用 D-S 理论融合多源证据。