PROMETHEE

PROMETHEE (Preference Ranking Organization METHod for Enrichment Evaluations) 由 Brans (1982) 提出，是一类基于成对比较和偏好流的多属性决策方法。与 TOPSIS 不同，PROMETHEE 不计算到理想解的距离，而是直接比较每一对方案在各属性上的表现差异。

核心思想

PROMETHEE 对每一对方案 $(A_i, A_k)$ 在每个属性 $j$ 上计算偏好程度 $P_j(A_i, A_k) \in [0, 1]$ ，然后将所有属性的偏好加权汇总，得到总偏好流，最终基于偏好流对方案排序。

关键创新在于引入了偏好函数 (Preference Function)：将两个方案在某属性上的差值转化为 $[0, 1]$ 的偏好程度，不同的偏好函数形状反映了决策者对"差距"的不同敏感性。

偏好函数

设方案 $A_i$ 和 $A_k$ 在属性 $j$ 上的差值为 $d_j = f_j(A_i) - f_j(A_k)$ ，偏好函数 $P_j(d_j) \in [0,1]$ 将差值映射为偏好程度。常用的偏好函数类型：

类型	名称	特点
I	通常型	$d > 0$ 则偏好为 1，否则为 0（无中间状态）
II	U 型	差值超过阈值 $q$ 才产生偏好
III	V 型	偏好随差值线性增长，直到阈值 $p$
IV	水平型	差值在 $[q, p]$ 区间内偏好为 0.5
V	带无差异的线性型	结合了无差异阈值 $q$ 和偏好阈值 $p$
VI	高斯型	偏好按高斯函数增长

最常用的是 V 型（带无差异的线性型）。选择不同的偏好函数是使用 PROMETHEE 时的重要建模决策。

算法步骤

确定偏好函数和参数

为每个属性选择偏好函数类型及其参数（如无差异阈值 $q$ 、偏好阈值 $p$ ）。

计算属性级偏好

对每对方案 $(A_i, A_k)$ 和每个属性 $j$ ，计算偏好程度 $P_j(A_i, A_k)$ 。

计算综合偏好指数

\pi(A_i, A_k) = \sum_{j=1}^{n} w_j \cdot P_j(A_i, A_k)

$\pi(A_i, A_k) \in [0, 1]$ 表示方案 $A_i$ 相对于 $A_k$ 的综合偏好强度。

计算偏好流

正流 (Leaving flow)： $\Phi^+(A_i) = \frac{1}{m-1} \sum_{k \neq i} \pi(A_i, A_k)$ ，表示 $A_i$ 相对于其他方案的优势
负流 (Entering flow)： $\Phi^-(A_i) = \frac{1}{m-1} \sum_{k \neq i} \pi(A_k, A_i)$ ，表示其他方案相对于 $A_i$ 的优势
净流 (Net flow)： $\Phi(A_i) = \Phi^+(A_i) - \Phi^-(A_i)$

排序

PROMETHEE I（部分排序）：同时考虑正流和负流，允许不可比的方案对存在。

PROMETHEE II（完全排序）：按净流 $\Phi(A_i)$ 从大到小排序，得到完全排序。

PROMETHEE I 与 II

版本	排序方式	特点
PROMETHEE I	部分排序	基于正流和负流分别排序，允许不可比关系存在
PROMETHEE II	完全排序	基于净流排序，所有方案都可比

PROMETHEE I 信息更丰富（保留了不可比性），但 PROMETHEE II 更实用（给出明确排序）。

与其他方法的对比

维度	TOPSIS	PROMETHEE
比较方式	方案 vs 理想解	方案 vs 方案（成对比较）
核心度量	距离	偏好流
灵活性	标准化方法选择	偏好函数和阈值选择
输出	完全排序	部分排序或完全排序
适用场景	通用排序	需要精细控制偏好表达

模糊 PROMETHEE

将评价信息替换为模糊数后，偏好函数和偏好流的计算需要基于模糊运算和模糊距离重新定义。模糊 PROMETHEE 在处理语言评价和区间信息方面具有优势。

AHP ELECTRE